منفیِ زیر رادیکال؛ اعدادی که وجود ندارند اما دنیا بدون آن‌ها فرومی‌ریزد

اگر هزار سال پیش زندگی می‌کردید، عددها فقط وقتی معنا داشتند که می‌شد آن‌ها را لمس کرد. سه تا سیب، دو جریب زمین، یا یک مکعب سنگی. در آن دوران، اگر در محاسباتتان به عددی کمتر از صفر می‌رسیدید، فکر می‌کردند جادو شده‌اید یا دیوانه! اما ریاضیات مثل موجودی زنده، همیشه راهی برای شکستن قفس پیدا می‌کند.

داستان از جایی شروع شد که یک معادله‌ی درجه سه مثل طلسم، ذهن بزرگ‌ترین دانشمندان تاریخ، از خیام نیشابوری تا نوابغ رنسانس را به بند کشید.

آن‌ها برای باز کردن این گره، ناچار شدند پا را از جهان واقعیت فراتر بگذارند و با موجودی ترسناک و بی‌معنا روبرو شوند: عددی که از ضرب خودش در خودش، منفی می‌شد! این موجود که بعدها به آن عدد موهومی گفتند، ابتدا یک دشنام علمی بود، اما بعدها معلوم شد که زبان‌اصلی جهان در ریزترین ذراتش است.

آیا حاضرید وارد دنیای پنهانی شوید که در آن ریاضی‌دانان برای حفظ یک فرمول، مثل گلادیاتورها دوئل می‌کردند و خیانت‌های بزرگی رقم می‌زدند تا بفهمند چطور می‌توان از میان اعداد غیرممکن به حقیقت محض رسید؟

امروز وقتی معادله‌ای مثل x² + 2x = 10 را می‌بینیم، ذهنمان بی‌درنگ سراغ دستکاری نمادها و جابه‌جاکردن اعداد می‌رود. اما برای ریاضی‌دانان باستان، از بابل و مصر گرفته تا یونان، چیزی به نام جبرِ نمادین وجود نداشت. ریاضیات برای آن‌ها انتزاعی نبود؛ ابزاری بود برای بقا، برای اندازه‌گیریِ زمین‌های کشاورزی بعد از طغیان رودخانه‌ها، برای پیش‌بینی حرکتِ ستارگان و حساب‌وکتابِ خراج و تجارت.

در آن دوران، عدد جدا از چیزها معنا نداشت. وقتی می‌گفتند ایکس به توان دو (x²)، واقعاً یک مربع را تصور می‌کردند؛ شکلی چهارگوش که طول هر ضلعش x بود. وقتی از ایکس به توان سه (x³) حرف می‌زدند، منظورشان یک مکعب واقعی، مثلاً یک مخزن آب یا یک سنگ تراش‌خورده بود.

همین وابستگی شدید به جهان فیزیکی، قانون نانوشته و سخت‌گیرانه‌ای را بر ریاضیات تحمیل می‌کرد مبنی بر اینکه همه چیز باید معنای هندسی داشته باشد. در چنین دنیایی، مفهوم عدد منفی نه‌تنها عجیب، بلکه مضحک بود:

مگر می‌شود مساحت یک زمین کشاورزی منفی شود، یا طول ضلع یک مربع کمتر از هیچ باشد؟ به همین دلیل، برای هزاران سال، ریاضی‌دانان از روبروشدن با اعداد منفی وحشت داشتند و اگر در محاسباتشان ظاهر می‌شدند، آن‌ها را به‌عنوان خطا یا غیرممکن دور می‌ریختند.

سال ۱۴۹۴ میلادی، لوکا پاچیولی، معلم ریاضی لئوناردو داوینچی و یکی از برجسته‌ترین ذهن‌های ایتالیای رنسانس، کتابی عظیم منتشر کرد که تمام دانش ریاضی زمانه‌اش را در بر می‌گرفت. او در فصلی از کتاب، به بررسی معادله‌ای پرداخت که امروز آن را به نام معادله درجه سوم می‌شناسیم؛ معادله‌ای به شکل کلی زیر.

به نقل از کانال Veritasium، پاچیولی با اطمینان نوشت که تلاش برای یافتن یک راه‌حل کلی برای این معادله، بی‌فایده است و لااقل با دانش آن روز بشر، به جایی نمی‌رسد. و این حرف کمی نبود.

عجیب اینکه اگر جمله‌ی توان سه (x³) را از معادله حذف می‌کردید، تبدیل به یک معادله درجه دوم ساده می‌شد که بشر از هزاران سال پیش راه‌حلش را می‌دانست. اما اضافه‌شدن همان یک بُعد سوم؛ یعنی ورودِ حجم و مکعب به بازی؛ همه چیز را به هم می‌ریخت.

برای درک چرایی بن‌بست معادلات درجه سه، باید اول ببینیم قدیمی‌ها چطور معادله درجه‌دو را حل می‌کردند. آن‌ها ایده‌ای از فرمول دلتای امروزی (b ± √Δ-)/ 2a نداشتند. روش آن‌ها، راه‌حلی بصری و هندسی بود که به آن تکمیل مربع می‌گفتند.

فرض کنید می‌خواستند معادله‌ای مثل x² + 26x = 27 را حل کنند. آن‌ها نمادهای جبری را نمی‌نوشتند، بلکه نقاشی می‌کردند: یک مربع می‌کشیدند که ضلعش x بود (معادل همان x²). یک مستطیل کنارش می‌گذاشتند که یک ضلعش x و ضلع دیگرش ۲۶ بود (معادل 26x). مجموعِ مساحتِ این دو شکل باید برابر با ۲۷ می‌شد.

در این مرحله مستطیل ۲۶ در x را از وسط نصف می‌کردند و دو مستطیل ۱۳ در x می‌ساختند. یکی را سمت راست مربع اصلی و دیگری را پایین آن قرار می‌دادند. حالا شکلی داشتند که شبیه به یک مربع بزرگ ناقص بود؛ فقط یک‌گوشه‌ی کوچک خالی داشت تا کامل شود.

آن گوشه‌ی خالی مربعی کوچک با ابعاد ۱۳ در ۱۳ بود. پس اگر مساحت این مربع کوچک (یعنی ۱۶۹) را به شکل اضافه می‌کردند، مربعِ بزرگ کامل می‌شد. اما برای اینکه ترازوی معادله بهم نخورد، باید همین عدد را به طرف دیگر تساوی (یعنی ۲۷) هم اضافه می‌کردند.

حالا یک مربع کامل داشتند که مساحتش برابر بود با ۱۹۶= ۲۷ + ۱۶۹

 ضلع این مربع بزرگ چقدر است؟ ریشه دوم ۱۹۶، یعنی ۱۴ و چون ضلع مربع بزرگ از x به علاوه‌ی ۱۳ تشکیل شده بود، پس x باید برابر با ۱ باشد.

ولی این روش بصری، زیبا و قانع‌کننده ایراد بزرگی داشت: در همین معادله، عدد ۲۷- هم پاسخی درست است؛ اما روش هندسی نمی‌توانست این جواب را ببیند، چون هیچ مربعی نمی‌تواند ضلعی با طول منفی ۲۷ داشته باشد. ریاضی‌دانان باستان هم‌زمان نیمی از حقیقت را می‌دیدند و نیمی دیگر یعنی جواب‌های منفی را ازدست می‌دادند.

و درست همین‌جا بود که بذر بحران معادله درجه سوم کاشته شد. اگر هندسه در معادله‌ی ساده‌ی درجه‌دو نیمی از جواب‌ها را نادیده می‌گرفت، در مواجهه با پیچیدگی حجم‌ها و مکعب‌ها در معادله درجه سه، به‌کلی فلج می‌شد.

ریاضی‌دانان جهان پشت درهای بسته‌ی این معادله ایستاده بودند، غافل از اینکه کلید این در، نه در جهان اشکال قابل‌لمس، بلکه در سرزمینی ممنوعه و انتزاعی پنهان شده است.

درحالی‌که اروپا در خواب‌سنگین قرون‌وسطی فرورفته بود، مشعل این معما در دستان ریاضی‌دانان شرق می‌سوخت. در قرن یازدهم میلادی، عمر خیام، شاعر و ریاضی‌دان نیشابوری، گامی بلند و جسورانه برداشت.

خیام نه با یک معادله، بلکه با ۱۹ نوع مختلف از معادله درجه سوم روبرو بود. ازآنجاکه دنیای هندسیِ آن زمان، اعداد منفی هنوز معنایی نداشتند؛ خیام نمی‌توانست بنویسد x³ - bx = c، چون تفریق در سمت چپ به مساحت منفی می‌رسید. پس مجبور بود معادله را بچرخاند و به شکل x³ = bx + c بنویسد تا همه چیز مثبت و واقعی باقی بماند.

او می‌خواست به فرمول یا دستورالعملی جبری برسد که فقط با عدد کار کند، نه با شکل. خیام در پایان رساله‌ی جبر و مقابله نوشت: «شاید کسانی که پس از ما می‌آیند، موفق شوند این راه‌حل را پیدا کنند.» این جمله وصیت‌نامه‌ای بود که ۴۰۰ سال بعد، در فاصله‌ای ۴۰۰۰ کیلومتر آن‌طرف‌تر باز شد.

اوایل قرن شانزدهم رنسانس در حال شکوفایی و دانشگاه‌های ایتالیا میدان جنگ بودند. در آن زمان، چیزی به نام استخدام رسمی یا امنیت شغلی برای اساتید وجود نداشت و هر ریاضیدانی می‌توانست در هر لحظه توسط یک رقیب به چالش کشیده شود.

این چالش‌ها که به دوئل‌های ریاضی مشهور بودند، حکم مسئله‌ی مرگ و زندگی شغلی را داشتند. دو ریاضی‌دان در میدانِ شهر یا سالنِ دانشگاه روبروی هم می‌ایستادند، سؤالاتی طرح می‌کردند و هرکس جواب‌های بیشتری می‌داد، شغل و آبروی دیگری را تصاحب می‌کرد. بازنده اغلب با تحقیر عمومی روبرو می‌شد و منبع درآمدش را از دست می‌داد.

سال ۱۵۱۰، شیپیونه دل‌فرو (Scipione del Ferro)، استاد ریاضی دانشگاه بولونیا، در خفا موفق به انجامِ غیرممکن شد. او توانست نوع خاصی از معادله درجه سوم را که به آن مکعب فشرده می‌گفتند حل کند (معادله‌ای که جمله‌ی توان دو ندارد مانند x³ + px = q).

دل‌فرو اما به‌جای اینکه با خوشحالی بگوید «یافتم، یافتم!» سکوت کرد. او این راز را برای ۲۰ سال در سینه‌ی خود حبس کرد و تنها در بستر مرگ، آن را به شاگردش، آنتونیو فیور (Antonio Fior) سپرد.

فیور ریاضی‌دان بزرگی نبود، اما حالا سلاحی در دست داشت که گمان می‌کرد هیچ‌کس در جهان حریفش نیست. او که جوان و جویای نام بود، تصمیم گرفت از این میراث برای نابودی نیکولو تارتالیا، یکی از بااستعدادترین ریاضی‌دانان ونیز استفاده کند.

نیکولو فونتانا، ملقب به تارتالیا (به معنی الکن)، زندگی سختی داشت. در کودکی، سربازان فرانسوی صورتش را با شمشیر شکافته بودند که باعث شد تا آخر عمر با لکنت صحبت کند. او در فقر بزرگ شد و به‌صورت خودآموز با چنگ‌ودندان خود را به جایگاه استادی رساند. اما حالا فیور مغرور او را به یک دوئل نابرابر دعوت می‌کرد.

تارتالیا به کنج اتاقش پناه برد. او فقط چند روز فرصت داشت تا کاری را که بشر در طول چندین قرن نتوانسته بود انجام دهد، به‌تنهایی به سرانجام برساند.

تارتالیا ایده‌ی قدیمی تکمیل مربع را برداشت و سعی کرد آن را به تکمیلِ مکعب ارتقا دهد. بیایید معادله‌ای مانند x³ + 9x = 26 را در ذهن بیاوریم.

تارتالیا x³ را به‌عنوان یک مکعب کوچک در نظر گرفت. هدف این بود که این مکعب را بزرگ‌تر کند تا به یک مکعب کامل بزرگ‌تر برسد. او تصور کرد که دارد ضخامتی به ابعاد این مکعب اضافه می‌کند.

اگر شما یک مکعب کوچک داشته باشید و بخواهید آن را بزرگ کنید، باید سه قطعه مکعب‌مستطیل به سه وجه آن اضافه کنید، و البته یک مکعب ریز هم برای پر کردن گوشه‌ی خالی نیاز دارید.

تارتالیا متوجه شد که می‌تواند آن سه قطعه‌ی اضافی را طوری تنظیم کند که حجمشان دقیقاً برابر با جمله‌ی ۹x در معادله باشد. این کار، معادله‌ی درجه سوم را به سیستمی از دو معادله تبدیل کرد: تفاضل دو عدد باید برابر با عدد ثابت معادله (۲۶) می‌شد. حاصل‌ضرب همان دو عدد باید با یک‌سوم ضریب x (یعنی ۳) ارتباط می‌داشت.

ناگهان، معجزه‌ای رخ داد. این سیستم جدید، در دل خود یک معادله درجه دوم پنهان داشت! تارتالیا توانسته بود غول مرحله‌ی آخر را به مسئله‌ای آشنا تبدیل کند. او با حل آن معادله درجه دوم پنهان، کلیدِ حل معادله درجه سه را به دست آورد.

صبح روز پایان مهلت، فیور نتوانسته بود حتی یکی از مسائل تارتالیا را حل کند، اما تارتالیا تمام ۳۰ مسئله‌ی فیور را تنها در دو ساعت حل کرده بود.

اما شهرت، همیشه دردسر می‌آفریند. در میلان، پزشکی نابغه، قمارباز و بی‌نهایت جاه‌طلب به نام جرلامو کاردانو صدای این پیروزی را شنید. و کاردانو کسی نبود که «نه» را به‌عنوان جواب بپذیرد.

کاردانو برخلاف تارتالیا و دل‌فرو، علاقه‌ای به حبس‌کردن دانش در سینه نداشت؛ او می‌خواست نامش را در تاریخ جاودانه کند و زیرکانه با ترکیبی از تملق و فشارهای تهاجمی تارتالیا را به میلان دعوت کرد و وعده داد که او را به حامیان ثروتمند معرفی می‌کند. تارتالیا که هنوز فقیر بود و به دنبال جایگاه اجتماعی می‌گشت، وسوسه شد.

۲۵ مارس ۱۵۳۹، دو مرد با هم ملاقات کردند و تارتالیا راضی شد رازش را فاش کند، اما تنها به یک شرط: کاردانو باید رازش را حفظ می‌کرد.

کاردانو دست بر انجیل گذاشت و قسم خورد: «سوگند می‌خورم که هرگز کشف تو را فاش نکنم و آن را طوری رمزنگاری کنم که پس از مرگم نیز کسی نتواند آن را بخواند.» تارتالیا شعر معروفش را به کاردانو داد و به ونیز برگشت، غافل از اینکه کلید گنجینه را به دست کسی داده که قفل‌شکن ماهری است.

کاردانو به‌محض دریافت فرمول، کارش را روی آن آغاز کرد. فرمول تارتالیا فقط برای معادلات فشرده (بدون x²) کار می‌کرد. اما کاردانو کشف کرد که با یک تغییر متغیر هوشمندانه، می‌تواند هر معادله درجه سومی را به حالت فشرده تبدیل کند. او حالا جام مقدس جبر را در دست داشت؛ راه‌حلی برای تمام معادلات درجه سوم.

کاردانو فوراً راه فرار را پیدا کرد: «من قسم خوردم راز تارتالیا را فاش نکنم، اما اگر فرمول دل‌فرو را منتشر کنم چه؟ من که به دل‌فرو قولی نداده‌ام!»

با این توجیه اخلاقی، او در سال ۱۵۴۵ کتاب شاهکارش، Ars Magna یا هنر بزرگ را منتشر کرد، کتابی که در آن راه حل تمامی مدل‌های معادلات درجه سه را شرح می‌داد و انقلابی بزرگ در دنیای ریاضیات رقم زد. تارتالیا خشمگین و تحقیرشده، کاردانو را خائن نامید، اما دیگر دیر شده بود. فرمول حل معادله درجه سه، حالا به نام روش کاردانو شناخته می‌شد و جهان ریاضیات را وارد عصر جدیدی می‌کرد.

 بااین‌حال کاردانو حین کار با فرمولِ جدیدش، به معادلاتی برخورد که رفتاری جنون‌آمیز داشتند. برای مثال بیایید به معادله x³ = 15x + 4 نگاه کنیم.

در این معادله عدد ۴ یک جواب کاملاً صحیح و ساده است.اما وقتی کاردانو همین معادله را در فرمول جادویی‌اش که قرار بود همیشه درست کار کند گذاشت، نتیجه‌ای که گرفت شبیه یک شوخی زشت بود:

این چه بود؟ رادیکال منفی ۱۲۱؟ در دنیای هندسی کاردانو، ریشه دوم منفی یعنی ضلع مربعی که مساحتش منفی است، ولی چنین چیزی وجود نداشت. در مورد معادلات درجه دوم، وقتی به ریشه منفی می‌رسیدند، می‌گفتند: «خب، یعنی جواب ندارد» و تمام.

 اما اینجا ما می‌دانستیم که جواب وجود دارد! جواب ۴ بود و جلوی چشمشان رژه می‌رفت.

درواقع فرمول ریاضی مسیری را طی می‌کرد که از میان ناممکن‌ها می‌گذشت. مثل این بود که برای رفتن از اتاق پذیرایی به آشپزخانه، مجبور باشید از وسط یک دیوار بتنی رد شوید. عقل سلیم می‌گفت عبور از دیوار غیرممکن است، اما ریاضیات اصرار داشت که اگر چشمانت را ببندی و رد شوی، سالم به آشپزخانه می‌رسی.

کاردانو در کتابش این مسئله را با ناامیدی رها کرد و نوشت که کار با ریشه‌های منفی، شکنجه‌ای ذهنی است و این اعداد «همان‌قدر که ظریف‌اند، بی‌فایده نیز هستند.»

ده سال از انتشار کتاب کاردانو و بن‌بست منطقی‌اش می‌گذشت و اکثر ریاضی‌دانان ترجیح می‌دادند از کنارِ ریشه‌های منفی بااحتیاط عبور کنند، اما در سال ۱۵۷۲، یک مهندس هیدرولیک به نام رافائل بومبلی تصمیم گرفت از این خط‌قرمز بگذرد.

 بومبلی مهندسی عمل‌گرا بود، نه ریاضیدانی آکادمیک. به این موضوع اهمیتی نمی‌داد که آیا یک عدد وجود خارجی دارد یا نه؛ او فقط می‌خواست ببیند که آیا این عدد «کار می‌کند» یا نه و با همین ایده به همان معادله‌ی نفرین‌شده‌ی کاردانو یعنی x³ = 15x + 4 نگاه کرد.

او استدلال کرد که ریشه‌ی منفی نمی‌تواند مثبت باشد (چون مثبت در مثبت می‌شود مثبت) و نمی‌تواند منفی باشد (چون منفی در منفی هم می‌شود مثبت). پس باید با نوع سومی از اعداد سروکار داشته باشیم.

بومبلی حدس می‌زد که عبارت‌های پیچیده‌ی فرمول کاردانو، در واقع ترکیبی از یک عدد معمولی و این عدد جدید هستند. چیزی شبیه به: (-1√b 2+) او با صبر و حوصله، شروع به ضرب و تقسیم کرد و ناگهان متوجه الگوی شگفت‌انگیزی شد.

در فرمول کاردانو، دو بخش وجود داشت که با هم جمع می‌شدند. بومبلی کشف کرد که اگر ساختار این اعداد جدید را درست حدس زده باشد، بخش‌های موهومی (آن‌هایی که رادیکال منفی دارند) قرینه‌ی هم هستند. یعنی یکی مثبت است و دیگری منفی.

وقتی او دو بخش فرمول را با هم جمع کرد، اتفاقی جادویی رخ داد: بخش‌های ترسناک و ناممکن، همدیگر را خنثی کردند (مثل 2i+ و 2i-) و ناپدید شدند و تنها عدد ۴ باقی ماند. گردوغبار فرونشست و حقیقت عریان نمایان شد.

بومبلی نشان داد که اعداد موهومی مثل تونل‌های زیرزمینی هستند. برای حل معادله، ما ناچاریم وارد این تونل‌های تاریک شویم، جایی که قوانین دنیای واقعی کار نمی‌کنند. اما اگر مسیر را درست برویم، در نهایت دوباره از تونل خارج می‌شویم و به دنیای اعداد حقیقی و پاسخ درست (عدد ۴) می‌رسیم. ریاضیات برای رسیدن به واقعیت، ناچار بود لحظه‌ای واقعیت را ترک کند.

باوجود شاهکار بمبلی، جهان علم به‌آسانی این اعداد را نمی‌پذیرفت. حتی یک قرن بعد، وقتی ریاضیات پوست می‌انداخت و از نقاشی‌های هندسی به سمت نمادهای جبری (x و y) حرکت می‌کرد، هنوز مقاومت شدیدی در برابر رادیکال منفی وجود داشت.

دکارت استدلال می‌کرد: «این اعداد واقعی نیستند؛ ساخته‌ی ذهن خیال‌پرداز ما هستند؛ مثل اسب تک‌شاخ!» این نام‌گذاری توهین‌آمیز، روی این اعداد ماند و تا امروز هم آن‌ها را اعداد موهومی می‌خوانیم، حتی با اینکه اکنون می‌دانیم آن‌ها به اندازه‌ی عدد ۱ یا π واقعی‌اند.

زمان لازم بود تا نسلِ جدیدی از ریاضی‌دانان بیایند که دیگر نگران معنی هندسی اعداد نباشند. در قرن هجدهم، لئونارد اویلر، تیر خلاص را زد و به‌جای نوشتن عبارت دست‌وپاگیر (۱-) √، از یک حرف ساده استفاده کرد: i.

با معرفی i و شکل‌گیری مفهوم صفحه مختلط (Complex Plane)، ریاضیات برای همیشه از قفسِ هندسه‌ی سنتی آزاد شد. حالا ریاضی‌دانان می‌فهمیدند که اعداد فقط روی محور اعداد حقیقی زندگی نمی‌کنند. اعداد حقیقی فقط سایه‌ای از دنیایی بزرگ‌تر و دو بُعدی بودند.

ریاضیات حالا ابزاری داشت که بسیار قدرتمندتر از شهود انسانی بود. اما هیچ‌کس حتی اویلر، نمی‌توانست حدس بزند که عدد i قرار است فرمانروای قلمرو اتم‌ها شود.

ماجرای اعداد موهومی می‌توانست در همان قرن هجدهم تمام شود. اویلر نماد i را معرفی کرده بود و ریاضی‌دانان می‌دانستند چطور با آن کار کنند و همه چیز آرام به نظر می‌رسید: اعداد موهومی نوعی ابزارِ محاسباتی به‌شمار می‌رفت؛ چیزی شبیه به یک میان‌بر زیرکانه برای حل مسائل سخت انتگرال یا نقشه‌برداری.

اما برای فیزیک‌دانانی که با جرم، سرعت و انرژی سروکار داشتند، جهان باید بر مبنای اعداد حقیقی پیش می‌رفت. مگر می‌شود سرعتِ یک ماشین 2i کیلومتر بر ساعت باشد؟ اما در سال ۱۹۲۵، در کلبه‌ای کوهستانی در آلپ، همه‌چیز تغییر کرد.

اروین شرودینگر، فیزیک‌دان اتریشی، به دنبال نوشتن قانونی بود که رفتار عجیب ذرات زیراتمی را توصیف کند. او می‌دانست که الکترون‌ها مثل توپ‌های بیلیارد رفتار نمی‌کنند، بلکه رفتاری شبیه به موج دارند. او تلاش کرد معادله‌ای برای این امواج بنویسد.

i یا همان ریشه‌ی دوم منفی یک، درست در ابتدای فرمول نشسته بود و همه‌چیز را به کابوسی تیره تبدیل می‌کرد. شرودینگر قصد داشت بنیادی‌ترین رفتار ماده یعنی واقعی‌ترین چیز ممکن را توصیف کند، اما معادله‌اش می‌گفت که این واقعیت، بدون اعداد موهومی قابل‌توصیف نیست. شرودینگر در ابتدا نوشت:

«استفاده از اعداد مختلط در اینجا ناخوشایند و حتی قابل‌اعتراض است. تابع موج Ψ قطعاً باید یک تابع حقیقی باشد.» اما هر چه تلاش کرد i را حذف کند، معادله از کار می‌افتاد. طبیعت اصرار داشت که به زبان موهومی حرف بزند.

چرا باید بنیادی‌ترین لایه‌ی جهان به عددی وابسته باشد که ۴۰۰ سال پیش برای حل یک معمای ریاضی انتزاعی اختراع شد؟ بیایید دوباره به i نگاه کنیم، اما نه به‌عنوان یک عدد، بلکه به‌عنوان یک دستور حرکت. عدد ۱ در صفحه‌ی اعداد در نظر بگیرید.

• ضرب در i، آن را ۹۰ درجه می‌چرخاند و به i تبدیل می‌کند.
• دوباره ضرب در i کنید (یعنی iبه توان دو)؛ ۹۰ درجه دیگر می‌چرخد و به ۱- می‌رسد.
• دوباره ضرب کنید؛ به i- می‌رسد.
• و ضرب چهارم، شما را به‌جای اول (۱) برمی‌گرداند.

 ضرب‌کردن در i، یعنی چرخیدن دایره‌وار و این امواج هستند که در طبیعت مدام می‌چرخند و نوسان می‌کنند.

شرودینگر ناخودآگاه دریافته بود که برای توصیف امواج احتمالات در کوانتوم، به ریاضیاتی نیاز دارد که ذاتش چرخشی باشد. تابع‌نمایی اویلر e^(ix) که ترکیبی از سینوس و کسینوس است، مثل یک فنر مارپیچ در فضای اعداد مختلط می‌چرخد و جلو می‌رود.

این مارپیچ، تمام اطلاعات موج را در خود دارد. مشتق گرفتن از آن بی‌نهایت ساده است (چون مشتق خودش می‌شود) و جمع‌کردن آن‌ها با هم (برهم‌نهی)، دقیقاً همان رفتاری را می‌سازد که الکترون‌ها در اتم دارند. بدون i، مکانیک کوانتوم فلج می‌شود. بدون کوانتوم، ترانزیستور، لیزر و همین کامپیوتری که این متن را در آن می‌خوانید، وجود نداشتند.

فریمن دایسون، فیزیک‌دان بزرگ می‌گوید:

شرودینگر ریشه دوم منفی یک را وارد معادله کرد و ناگهان همه چیز منطقی شد. ناگهان آن معادله به‌جای معادله انتقال حرارت، به معادله موج تبدیل شد. و شرودینگر با خوشحالی دریافت که این معادله جواب‌هایی دارد که با مدارهای کوانتیده در مدل اتمی بور مطابقت دارند. مشخص شد که معادله شرودینگر هر آنچه را که ما در مورد رفتار اتم‌ها می‌دانیم به‌درستی توصیف می‌کند. این معادله پایه و اساس تمام علم شیمی و بخش عمده‌ای از فیزیک است و آن ریشه دوم منفی یک به‌صراحت می‌گوید که طبیعت با اعداد مختلط کار می‌کند و نه با اعداد حقیقی.

اعداد موهومی به زیبایی یادآوری می‌کنند گاهی برای درک حقیقت جهان، باید دست از این انتظار برداریم که جهان شبیه تصورات روزمره‌ی ما باشد. گاهی باید دست ریاضیات را بگیریم و اجازه دهیم ما را به جاهایی ببرد که عقل سلیم راهی به آن ندارد. در تاریکی تونل‌های موهومی، نور حقیقت منتظر ماست.