نظریه آشوب و اثر پروانه‌ای به زبان ساده؛ وقتی تغییرات کوچک، جهان را تکان می‌دهند

سوییس سال ۱۹۰۵ میلادی؛ ساعت معروف برج بِرن، زمان را کمی عقب‌تر نشان می‌دهد. در خانه‌ای نزدیک برج، مردی که همیشه با صدای ناقوس ساعت بیدار می‌شد، آن روز دیرتر از معمول از خواب برمی‌خیزد. پس از آن‌که متوجه تاخیر شد، مضطرب و باعجله لباس می‌پوشد، قهوه‌اش را می‌نوشد و پنج دقیقه دیرتر از همیشه از خانه خارج می‌شود.

همزمان، در سوی دیگر خیابان، راننده‌ای سوار خودروی جدیدش می‌شود، بی‌خبر از آن‌که ترمز خودرویش معیوب است. مرد به تقاطع می‌رسد، بدون اینکه به اطرافش دقت کند. خودرو با سرعت نزدیک می‌شود. برخوردی شدید رخ می‌دهد و مرد روی زمین می‌افتد و درجا فوت می‌کند. این مرد کسی نیست جز آلبرت اینشتین.

تنها چند دقیقه تاخیر و شاید جهان هرگز نظریه نسبیت را نمی‌شناخت و فیزیک مدرن مسیر دیگری را طی می‌کرد. این، همان «اثر پروانه‌ای» است که از دل «نظریه آشوب» برآمده است: وقتی که یک تغییر به‌ظاهر بی‌اهمیت می‌تواند آینده را از نو بنویس.

در این مطلب، قصد داریم به بررسی دقیق‌تر اثر پروانه‌ای و نظریه‌ی آشوب، ابعاد مختلف آن‌ و تاثیراتی که می‌تواند بر زندگی ما داشته باشد، بپردازیم. با ما همراه باشید تا دریابیم که چگونه کوچک‌ترین تصمیمات و اقدامات ما، می‌توانند زنجیره‌ای از رویدادها را رقم بزنند و سرنوشت‌مان را به شکلی غیرقابل‌تصور تغییر دهند.

اثر پروانه‌ای (Butterfly Effect) نشان می‌دهد که در سیستم‌های آشوبناک و غیرخطی، تغییرات کوچک در شرایط اولیه می‌توانند نتایج بسیار بزرگی در آینده داشته باشند. درواقع اثر پروانه‌ای به ما می‌گوید تغییرات ناچیز می‌توانند پیامد‌های بزرگی داشته باشند.

نام «اثر پروانه‌ای» از یک مثال استعاری گرفته شده که توسط ادوارد لورنتس (Edward Lorenz)، یکی از پیشگامان نظریه آشوب (Chaos Theory)، مطرح شد. او در سال ۱۹۶۳ هنگام مطالعه روی مدل‌های پیش‌بینی آب‌وهوا متوجه شد که تغییرات جزئی در داده‌های اولیه می‌توانند خروجی‌های کاملاً متفاوتی ایجاد کنند.

لورنتس در مقاله‌ای در سال ۱۹۷۲ با عنوان «آیا بال‌زدن یک پروانه در برزیل می‌تواند باعث ایجاد یک طوفان در تگزاس شود؟» این ایده را مطرح کرد. استعاره‌ی پروانه نشان می‌دهد که یک تغییر کوچک (مثلاً بال‌زدن یک پروانه) در یک نقطه از جهان می‌تواند در طول زمان و با تأثیر بر عوامل دیگر، منجر به تغییرات عظیمی (مانند شکل‌گیری یک طوفان) در جای دیگری از جهان شود.

لورنتس ابتدا این مفهوم را به‌عنوان یک مسئله‌ی ریاضی و فیزیکی بررسی کرده بود، اما پس از سخنرانی‌اش در یک کنفرانس علمی، نام «اثر پروانه‌ای» محبوب و وارد فرهنگ عامه و رسانه‌ها شد.

این مفهوم نه‌تنها در هواشناسی، بلکه در اقتصاد، زیست‌شناسی، علوم اجتماعی و حتی داستان‌ها و فیلم‌های علمی‌تخیلی کاربرد دارد. یکی از معروف‌ترین فیلم‌ها، اثری با همین عنوان به کارگردانی اریک برس و جی. مکی گروبر (۲۰۰۴) است که داستان اوان تربورن (با بازی اشتون کوچر) را روایت می‌کند.

اوان متوجه می‌شود که می‌تواند با خواندن دفتر خاطراتش به گذشته سفر کند و انتخاب‌های گذشته‌اش را تغییر دهد. اما هر تغییری که در گذشته ایجاد می‌کند، پیامدهای غیرقابل‌پیش‌بینی و گاه فاجعه‌باری در آینده دارد. بازی ترسناک Until Dawn هم از اثر پروانه‌ای به‌عنوان مکانیزم اصلی گیم‌پلی خود استفاده می‌کند و نشان می‌دهد که چگونه انتخاب‌های ظاهراً بی‌اهمیت می‌توانند مستقیماً روی زنده ماندن یا مرگ کاراکترها تأثیر بگذارد.

اما چرا اثر پروانه‌ای تااین حد در فرهنگ عامه محبوب است؟ شاید دلیل این علاقه به این پرسش بنیادی برمی‌گردد که تا چه حد می‌توانیم آینده را پیش‌بینی کنیم؟ بیشتر ما دوست داریم فکر کنیم که زندگی قابل‌پیش‌بینی و تحت‌کنترل است، اما اثر پروانه‌ای نشان می‌دهد که کوچک‌ترین تغییرات می‌توانند پیامدهایی غیرمنتظره و حتی سرنوشت‌ساز داشته باشند. همین عدم قطعیت و رازآلودگی است که این مفهوم را تا این حد هیجان‌انگیز می‌کند.

برای توضیح اثر پروانه‌ای از بعد علمی، به اواخر قرن هفدهم و به سال‌هایی برمی‌گردیم که نیوتن، قوانین حرکت و گرانش جهانی را مطرح کرد. پژوهشگران، تا سال‌ها برای توصیف جهان از قوانین نیوتن و فیزیک کلاسیک استفاده می‌کردند. براساس این قوانین، با داشتن اطلاعاتی در مورد حالت جسم در زمان حال، می‌توانیم رفتار آن را در آینده پیش‌بینی کنیم.

به‌کمک قوانین نیوتن، دانشمندان توانستند خورشیدگرفتگی‌ و عبور ستاره‌های دنباله‌دار از نزدیکی زمین را با دقتی بالا پیش‌بینی کنند. پیر سیمون لاپلاس (Pierre-Simon Laplace)، فیزیک‌دان فرانسوی، این ایده را در قالب یک آزمایش ذهنی مشهور خلاصه کرد.

او موجودی فراهوشمند را تصور کرد که اکنون آن را به‌نام دیو لاپلاس (Laplace's Demon) می‌شناسیم. این موجود خیالی، اطلاعات کاملی از وضعیت کنونی جهان در اختیار داشت؛ موقعیت مکانی و سرعت تمام ذرات و چگونگی برهم‌کنش آن‌ها با هم. براساس نتیجه‌گیری لاپلاس، اگر این هوش بی‌نهایت بتواند داده‌ها را تحلیل کند، آینده، درست مانند گذشته، در برابر چشمانش آشکار خواهد شد.

وضعیت کنونی جهان را می‌توان نتیجه‌ی گذشته و علت آینده‌ی آن دانست. اگر ذهنی وجود داشته باشد که در هر لحظه، از تمام نیروهای طبیعت و جایگاه دقیق تمام اجزای آن آگاه باشد و بتواند این اطلاعات را تحلیل کند، آن‌گاه با یک فرمول می‌تواند هم حرکت عظیم‌ترین اجرام کیهانی و هم جنبش کوچک‌ترین اتم را توصیف کند. برای چنین هوشی، هیچ‌چیز، نامعلوم نخواهد بود؛ آینده، درست مانند گذشته، کاملاً در برابر چشمانش نمایان خواهد شد

- پیر سیمون لاپلاس، فیزیک‌دان فرانسوی

این موضوع، همان جبرگرایی مطلق است؛ دیدگاهی که می‌گوید آینده از پیش تعیین شده است. اگر کمی با مفاهیم فیزیک آشنا باشید، این طرز فکر کاملاً طبیعی به‌نظر می‌رسد. البته، مکانیک کوانتومی با اصل عدم قطعیت هایزنبرگ نشان می‌دهد که در مقیاس اتمی، پیش‌بینی کامل آینده ممکن نیست؛ اما در مقیاس‌های بزرگ‌تر، این عدم قطعیت آن‌قدر ناچیز است که تقریباً هیچ تاثیری ندارد.

بنابراین، از نگاه کلاسیک، جهان مانند ماشینی بسیار بزرگ عمل می‌کند که تمام اتفاقاتش از قبل مشخص‌ شده‌اند؛ فقط باید صبر کنیم تا رخ دهند. اصل عدم قطعیت هایزنبرگ یکی از معدود مفاهیم فیزیک کوانتوم است که فراتر از دنیای علم رفته و به فرهنگ عامه راه پیدا کرده است.

همان‌طور که گفتیم، اثر پروانه‌ای نشان می‌دهد که حتی تغییرات جزئی در نقطه‌ی شروع یک سیستم پویا می‌تواند مسیر آینده‌ی آن را کاملاً دگرگون کند. در اینجا، برای درک بهتر چنین رفتارهایی، نیاز داریم تا مفهومی به‌نام فضای فاز را با آزمایش ساده آونگ بررسی کنیم، که تمام حالت‌های ممکن یک سیستم را در یک نمودار دوبعدی یا چندبعدی نمایش می‌دهد.

به‌احتمال زیاد بیشتر شما با نمودارهای مکان زمان یا سرعت زمان آشنا هستید. نمودارهایی که مکان و سرعت اجسام را در زمان‌های مختلف نشان می‌دهند. اگر بخواهیم نموداری دوبعدی داشته باشیم که هر حالت ممکنِ یک آونگ را نشان دهد، چه کاری باید انجام دهیم؟

فرض کنید آونگ در حالت تعادل، به‌صورت عمودی از نقطه‌ای آویزان شده است. روی محور x می‌توانیم زاویه‌ی آونگ نسبت به حالت تعادل یا حالت عمودی و روی محور y، سرعت آونگ را نشان دهیم. به این نمودار، نمودار فازی می‌گوییم.

اگر مقاومت هوا را در نظر بگیریم، سرعت آونگ با گذشت زمان کاهش می‌یابد و درنهایت متوقف می‌شود. در فضای فاز، این روند با یک مارپیچ به سمت داخل نمایش داده می‌شود؛ یعنی هر بار که آونگ نوسان می‌کند، دامنه و سرعت آن کاهش می‌یابد. اینکه آونگ چگونه حرکت خود را آغاز کرده باشد، مهم نیست، زیرا سرنوشت نهایی آن همواره یک چیز است: ایستادن در حالت تعادل، دقیقاً در پایین‌ترین نقطه.

اگر به نمودار نگاه کنیم، به نظر می‌رسد که تمام مسیرها به سمت یک نقطه‌ی خاص جذب می‌شوند؛ نقطه‌ای که آونگ در آن متوقف می‌شود.

با نادیده گرفتنِ مقاومت هوا، آونگ، هیچ انرژی‌ای از دست نمی‌دهد و بدون تغییر سرعت و دامنه، نوسان می‌کند. این رفتار در فضای فاز به شکل حلقه‌ای بسته دیده می‌شود. دلیل این اتفاق آن است که آونگ در پایین‌ترین نقطه‌ی مسیر، بیشترین سرعت را دارد، اما با حرکت رفت و برگشت، جهت سرعتش تغییر می‌کند.

وجود حلقه‌ی بسته در نمودار، حرکتی دوره‌ای یا تناوبی و قابل‌پیش‌بینی را به ما نشان می‌دهد. در واقع، هر بار که چنین الگویی را در فضای فاز ببینیم، می‌دانیم سیستم به‌طور منظم و بدون تغییر، حرکتِ یکسانی را تکرار خواهد کرد.

آونگ می‌تواند با دامنه‌های متفاوت، نوسان کند. این حالت هنگامی رخ می‌دهد که آونگ با زاویه‌های متفاوت رها شده باشد. تصویر در فضای فاز، دوباره حلقه‌ی بسته است، اما با اندازه‌های متفاوت. هرچه دامنه‌ی نوسان کوچک‌تر باشد، حلقه‌ی داخل فضای فاز نیز کوچک‌تر خواهد بود.

نکته‌ی مهم آن است که منحنی‌ها یا همان حلقه‌ها، در فضای فاز هرگز یکدیگر را قطع نمی‌کنند. زیرا هر نقطه در فضای فاز، وضعیت کامل سیستم را در هر لحظه‌، مشخص می‌کند و این وضعیت فقط یک آینده‌ دارد. به بیان ساده، اگر شرایط اولیه‌ی سیستم را بدانیم، آینده‌ی آن کاملاً مشخص و از پیش تعیین‌شده خواهد بود.

حرکت یک آونگ را می‌توان به‌خوبی با فیزیک نیوتنی توصیف کرد، اما خود نیوتن می‌دانست که همه‌ی مسائل به این سادگی قابل‌حل نیستند. یکی از چالش‌های معروف، مسئله‌ی سه‌جسمی بود.

به‌عنوان مثال، محاسبه‌ی حرکت زمین به دور خورشید با استفاده از قوانین نیوتن نسبتاً ساده است، چون فقط دو جسم در نظر گرفته می‌شوند. اما اگر جسم دیگری، مانند ماه، به این سیستم اضافه شود، پیش‌بینی دقیق حرکت‌ها بسیار پیچیده و تقریباً غیرممکن می‌شود.

مسئله‌ی سه‌جسمی یکی از چالش‌های مهم در فیزیک و نجوم است که به برهم‌کنش میان سه جرم آسمانی می‌پردازد. اگر فقط دو جسم مانند زمین و ماه را در نظر بگیریم، معادلات نیوتن به‌راحتی حرکت آن‌ها را توصیف می‌کنند. این دو جرم حول یک مرکز جرم مشترک می‌چرخند، که در فاصله‌ای مشخص، درون زمین قرار دارد.

همین موضوع برای سیستم خورشید و زمین نیز صادق است. اما مشکل زمانی شروع می‌شود که جرم سومی، مانند مشتری، وارد این معادله شود. نیوتن دریافت که تاثیرات جزیی اما مداوم سیارات بزرگ، مانند مشتری، می‌توانند مدار زمین را تغییر دهند و حتی منجر به بی‌ثباتی آن شوند.

مرجان شیخی

حمله بیگانگان به زمین؛ مسئله سه جسم چیست؟

مطالعه '15

برای حل این مشکل، ریاضیدانان، شاخه‌ای جدید از ریاضیات را به‌نام نظریه‌ی اختلال توسعه دادند. این نظریه نشان داد که تاثیرات مداوم سیارات بزرگ در طول زمان خنثی می‌شوند. اما هنگامی‌که سه جرمِ هم‌جرم و در فاصله‌ی نزدیک به هم قرار داشته باشند، برهم‌کنش‌ها به‌شدت پیچیده و غیرقابل‌پیش‌بینی می‌شوند.

در این حالت، پیش‌بینی مدار سه جسم به روش تحلیلی غیرممکن است و حرکت آن‌ها رفتاری آشوبناک دارد. یعنی تغییرات کوچک در شرایط اولیه، تفاوت‌های بسیار بزرگی را در مدارهای آن‌ها در طول زمان ایجاد می‌کند.

اضافه شدن جسم سوم مانند ماه یا مشتری به سیستم زمین و خورشید، ذهن نیوتن را به‌هم ریخت، به‌گونه‌ای که شب‌ها خوابش نمی‌برد و دچار سردردهای عصبی شده بود. درنهایت، پیچیدگی‌های این مسئله آن‌قدر نیوتن را خسته کرد که تصمیم گرفت هرگز به آن فکر نکند.

حدود ۲۰۰ سال بعد، هنری پوانکاره به این موضوع پی برد که جواب ساده‌ای برای مسئله‌ی سه‌ جسم وجود ندارد. در واقع، این دانشمند به نظریه‌ای رسید که بعدها به‌نام نظریه‌ی آشوب شناخته شد.

نظریه آشوب (Chaos Theory) شاخه‌ای از ریاضیات و فیزیک است که به رفتار سیستم‌های پویا و غیرخطی می‌پردازد؛ سیستم‌هایی که به‌شدت به شرایط اولیه وابسته‌اند و پیش‌بینی‌پذیری آن‌ها در بلندمدت دشوار یا حتی غیرممکن است. برخلاف تصور رایج، آشوب به معنای بی‌نظمی محض نیست، بلکه الگوهای پنهانی در دل آن وجود دارد.

نظریه آشوب دربردارنده‌ی چهار ویژگی اصلی است:‌

• حساسیت به شرایط اولیه: تغییرات جزئی در نقطه‌ی شروع یک سیستم می‌تواند نتایج کاملاً متفاوتی در آینده ایجاد کند (اثر پروانه‌ای).
• پیش‌بینی‌ناپذیری در بلندمدت: حتی اگر مدل دقیقی از یک سیستم داشته باشیم، در یک بازه زمانی طولانی نمی‌توان آن را با دقت بالا پیش‌بینی کرد.
• رفتار غیرخطی و بازخوردهای پیچیده: در این سیستم‌ها روابط ساده‌ی علت و معلولی وجود ندارد؛ خروجی‌ها می‌توانند به‌شدت غیرمنتظره باشند.
• ساختارهای فراکتالی و الگوهای تکرارشونده: بسیاری از سیستم‌های آشوبناک دارای الگوهای مشابه در مقیاس‌های مختلف هستند.

نظریه‌ آشوب در دهه‌ی ۶۰ میلادی به‌طور جدی مورد‌توجه قرار گرفت؛ زمانی که هواشناسی به‌نام اِد لورنتس تلاش کرد تا به‌کمک کامپیوتر، شبیه‌سازی ساده‌ای از جو زمین انجام دهد. لورنتس، ۱۲ معادله و ۱۲ متغیر مانند دما، فشار، رطوبت و دیگر پارامترهای جوی در اختیار داشت. کامپیوتر، برای هر گام زمانی، یک ردیف از ۱۲ عدد را به‌عنوان نتایج به‌دست آمده چاپ می‌کرد که تغییرات پارامترها را در طول زمان نشان می‌داد.

نقطه‌ی عطف، زمانی رخ داد که لورنتس تصمیم گرفت شبیه‌سازی را دوباره اجرا کند؛ این‌بار با عددهایی که از وسط یکی از خروجی‌های قبلی گرفته بود. لورنتس پس از وارد کردن داده‌ها به کامپیوتر و شروع شبیه‌سازی، از اتاق خارج شد تا قهوه‌ای بخورد؛ اما پس از بازگشت و مشاهده‌ی نتایج به‌دست آمده، شوکه شد. شبیه‌سازی جدید نه‌تنها مشابه شبیه‌سازی قبلی پیش نرفته بود، بلکه به‌طور کامل از آن منحرف شده و به حالت کاملاً متفاوتی از جو و آب‌وهوا رسیده بود.

این اتفاق نشان داد که حتی تغییرات بسیار کوچک و ریز در داده‌ها می‌توانند منجر به انحرافات بزرگ در نتایج شوند. این کشف برای لورنتس شوک‌آور بود. او دریافت که حتی در سیستم‌های پیچیده‌ای که ظاهراً به‌طوردقیق قابل‌پیش‌بینی هستند، شرایط اولیه نقش پررنگی در تعیین نتیجه‌ی نهایی ایفا می‌کنند.

علت واقعی این اختلاف به دقت محاسبات برمی‌گشت. چاپگر، اعداد را تا سه رقم اعشار گرد می‌کرد، در حالی که کامپیوتر، محاسبات را با شش رقم اعشار انجام می‌داد. درنتیجه، پس از وارد کردن داده‌ها، یک تفاوت جزیی، کمتر از یک هزارم، باعث شد که پس از مدتی کوتاه، پیش‌بینی آب‌وهوا کاملاً متفاوت پیش رود.

لورنتس برای درک بهتر این پدیده، تصمیم گرفت معادلاتش را ساده‌تر کند و درنهایت به سه معادله و سه متغیر رسید: مدلی ساده‌شده از همرفت (جابجایی گرمایی) که مقطعی دوبعدی از جو زمین را شبیه‌سازی می‌کرد؛ جایی که هوا از پایین گرم و از بالا سرد می‌شد.

مثال‌هایی از نظریه آشوب را می‌توان در دنیای واقعی مشاهده کرد: برای مثال، آب‌وهوا که کوچک‌ترین تغییر در دما یا فشار می‌تواند در طول زمان به تغییرات شدید جوی منجر شود؛ یا بازارهای مالی که در آن نوسانات شدید سهام گاهی نتیجه‌ی عوامل بسیار کوچک و غیرقابل‌پیش‌بینی هستند؛ یا اکوسیستم‌ها که در آن نابودی یک گونه‌ی خاص می‌تواند تعادل کل زنجیره غذایی را تغییر دهد.

از آنجاکه لورنتس با سه متغیر کار می‌کرد، می‌توانیم فضای فازی سیستم او را در یک نمودار سه‌بعدی ترسیم کنیم. این فضا به ما نشان می‌دهد که وضعیت سیستم چگونه در طول زمان تغییر می‌کند.

می‌توانیم یک نقطه‌ی دلخواه را به‌عنوان حالت اولیه‌ی سیستم انتخاب و تکامل مسیر آن را دنبال کنیم. آیا این نقطه به یک وضعیت پایدار می‌رسد یا در یک مسیر تکرارشونده (یک حلقه‌ی بسته) قرار می‌گیرد؟ این‌گونه به نظر می‌رسد که هیچ‌کدام از این دو حالت رخ نمی‌دهد. در حقیقت، این سیستم هیچ‌وقت حالت مشابهی را مشاهده نمی‌کند.

فرض کنید شبیه‌سازی را با سه نقطه‌‌ی بسیار نزدیک به هم شروع می‌کنیم. در ابتدا، نقطه‌ها مسیر تقریباً یکسانی را طی می‌کنند، اما کم‌کم از هم جدا می‌شوند. نقاطی که در ابتدا تفاوت ناچیزی داشتند، حالا در مسیرهای کاملاً متفاوتی حرکت می‌کنند. این همان وابستگی به شرایط اولیه است؛ یعنی یک تغییر کوچک در نقطه‌ی شروع، می‌تواند نتایجی غیرقابل‌پیش‌بینی در آینده ایجاد کند.

سیستمی که لورنتس بررسی می‌کرد، کاملاً قانونمند بود و هیچ‌چیز تصادفی در آن وجود نداشت. درست مانند آونگ، اگر همان شرایط اولیه را بدون هیچ تغییری وارد می‌کردید، دقیقاً همان نتیجه را به دست می‌آوردید. اما برخلاف آونگ، این سیستم رفتار آشوبناک داشت و هر تغییر کوچک و ناچیزی در شرایط اولیه، در طول زمان به وضعیتی کاملاً متفاوت ختم می‌شد. این موضوع در نگاه اول متناقض به‌نظر می‌رسد؛ سیستمی کاملاً قانونمند و غیرقابل‌پیش‌بینی.

دلیل این تناقض آن است که در عمل، هیچ‌گاه نمی‌توان شرایط اولیه را بادقت بی‌نهایت مشخص کرد. حتی کوچک‌ترین اختلاف در رقم‌های اعشار می‌تواند به نتایجی کاملاً متفاوت منجر شود.

این نتیجه، نشان می‌دهد که حتی امروزه، با وجود ابرکامپیوترهای قدرتمند، پیش‌بینی دقیق آب‌وهوا برای بیش از یک هفته بسیار دشوار است. در واقع، مطالعات نشان داده‌اند که از روز هشتم به بعد، دقت پیش‌بینی‌های بلندمدت آن‌قدر کاهش می‌یابد که اگر صرفاً میانگین تاریخی شرایط جوی همان روز را در نظر بگیریم، نتیجه تقریباً به همان اندازه دقیق خواهد بود.

با درک تاثیر آشوب در سیستم‌های جوی، امروزه هواشناسان دیگر به یک پیش‌بینی واحد بسنده نمی‌کنند. در عوض، از روش «پیش‌بینی‌های مجموعه‌ای» (ensemble forecasts) استفاده می‌کنند؛ یعنی شرایط اولیه و پارامترهای مدل را چندین‌بار با تغییرات جزیی، اجرا و مجموعه‌ای از پیش‌بینی‌های مختلف ایجاد می‌کنند تا تصویری جامع‌تر از تغییرات احتمالی آب‌وهوا به دست آورند.

آونگ دوتایی، در ظاهر یک سیستم ساده است و دو آونگ را نشان می‌دهد که به یکدیگر متصل شده‌اند. اما پشت این سادگی، دنیایی از آشوب نهفته است. اگر دو آونگ دوتایی را با شرایط اولیه‌ی تقریباً یکسان رها کنیم، در ابتدا حرکتشان مشابه به‌نظر می‌رسد، اما خیلی زود مسیرشان از هم جدا می‌شود. حتی اگر بارها و بارها تلاش کنید که دقیقاً همان شرایط اولیه را بازسازی کنید، هرگز نمی‌توانید آونگ را به همان شیوه‌ی قبلی به حرکت درآورید.

حرکت این سیستم کاملاً غیرقابل‌پیش‌بینی است. مسیر آونگ‌ها چنان پیچیده و حساس به تغییرات کوچک است که حتی اختلافی ناچیز در نقطه‌ی شروع، می‌تواند منجر به حرکاتی کاملاً متفاوت شود. این ویژگی، همان چیزی است که آونگ دوتایی را به نمونه‌ای عالی از آشوب تبدیل می‌کند؛ سیستمی که در آن، گذشته کاملاً مشخص است، اما آینده، هرگز قابل پیش‌بینی نیست.

شاید تصور کنید که آشوب، همیشه با انرژی زیاد یا حرکات نامنظم همراه است، اما حتی سیستم‌های به‌ظاهر ساده هم می‌توانند آشوبناک باشند. به‌عنوان مثال، مجموعه‌ای از پنج فیجت‌اسپینر (fidget spinner) که در بازوهایشان آهن‌رباهای دافع قرار گرفته‌اند، رفتاری کاملاً آشوبناک از خود نشان می‌دهد.

در نگاه اول، چرخش سیستم (حرکت پنج فیجت‌اسپینر) منظم و تکرارشونده به‌نظر می‌رسد، اما اگر با دقت بیشتری نگاه کنید، متوجه حرکات غیرمنتظره‌ای خواهید شد. ناگهان یکی از اسپینرها جهت چرخش خود را تغییر می‌دهد، گویی نیرویی نامرئی آن را از مسیرش منحرف کرده است. این تغییرات کوچک، همان ویژگی حساسیت به شرایط اولیه را نشان می‌دهد که از مشخصه‌های اصلی آشوب است.

آشوب فقط در مقیاس کوچک رخ نمی‌دهد، بلکه در ابعادی بسیار بزرگ‌تر، مانند منظومه شمسی نیز دیده می‌شود. براساس مطالعاتی که حرکت سیارات را برای صد میلیون سال آینده شبیه‌سازی کرده‌اند، رفتار کلی منظومه شمسی نیز آشوبناک است.

به‌طور میانگین، طی حدود چهار میلیون سال، انحرافات جزیی در مدارها می‌توانند به تغییرات چشمگیری منجر شوند. در بازه‌ای حدود ۱۰ تا ۱۵ میلیون سال، این تغییرات ممکن است به برخورد سیارات یا پرتاب شدن برخی از آن‌ها به بیرون از منظومه شمسی ختم شود.

منظومه‌ای که همواره به‌عنوان نمادی از نظم کیهانی شناخته می‌شود، در بلندمدت کاملاً غیرقابل‌پیش‌بینی است. این نشان می‌دهد که آشوب نه‌تنها در سیستم‌های کوچک و ساده، بلکه در عظیم‌ترین ساختارهای کیهانی نیز حضور دارد.

تا چه حد می‌توانیم آینده را پیش‌بینی کنیم؟ نه چندان خوب! حداقل در مورد سیستم‌های آشوبناک، پیش‌بینی آینده کار ساده‌ای نیست. هرچه تلاش کنیم وضعیت سیستمی را در آینده‌ای دورتر پیش‌بینی کنیم، عدم قطعیت بیشتر می‌شود؛ تا جایی که پس از یک نقطه‌ی مشخص، پیش‌بینی‌ها هیچ برتری‌ای نسبت به حدس‌های تصادفی ندارند.

همین مسئله در بررسی گذشته نیز صدق می‌کند؛ یعنی در یک سیستم آشوبناک، نمی‌توان با اطمینان گفت که چه عواملی باعث وقوع یک وضعیت خاص شده‌اند.

آشوب را می‌توان به مه غلیظی تشبیه کرد که هرچه بیشتر به جلو (آینده) یا عقب (گذشته) نگاه کنیم، دید ما محدودتر و مبهم‌تر می‌شود. آشوب، محدودیتی اساسی برای دانش ما تعیین می‌کند؛ یعنی مشخص می‌کند که تا چه اندازه می‌توانیم از آینده‌ی یک سیستم مطلع شویم و تا چه میزان درباره‌ی گذشته‌ی آن سخن بگوییم. بااین‌حال، نباید امید خود را از دست بدهیم.

بار دیگر به فضای فازی معادلات لورنتس برمی‌گردیم. مجموعه‌ای از شرایط اولیه‌ی مختلف را انتخاب و چگونگی تکامل آن‌ها را در طول زمان بررسی می‌کنیم. درابتدا، حرکات به‌هم‌ریخته و نامنظم به‌نظر می‌رسند. اما با کمی صبر، اتفاق جالبی رخ می‌دهد؛ تمام نقاط، به‌تدریج به سمت یک ساختار خاص حرکت می‌کنند، گویی نیرویی نامرئی آن‌ها را به درون خود می‌کشد.

به این ساختار در نظریه آشوب، جاذب می‌گوییم. نکته‌ی جالب آن است که این جاذب در مورد معادلات لورنتس، شکلی شبیه به پروانه دارد. این همان الگوی پنهانی است که در دل بی‌نظمی آشوب، خود را نشان می‌دهد. در طیف گسترده‌ای از شرایط اولیه، سیستم در نهایت به حالتی می‌رسد که روی این جاذب قرار می‌گیرد.

همان‌طور که اشاره کردیم، مسیرهایی که این نقاط طی می‌کنند، هرگز از روی هم عبور نمی‌کنند و هیچ‌گاه به هم متصل نمی‌شوند تا یک حلقه‌ی بسته را تشکیل دهند. اگر چنین اتفاقی رخ می‌داد، سیستم برای همیشه در همان مسیر تکراری باقی می‌ماند و رفتار آن دوره‌ای و قابل‌پیش‌بینی می‌شد. اما اینجا شرایط متفاوت است. مسیرهایی که در این فضا شکل می‌گیرند، بی‌نهایت پیچیده و پرجزئیات هستند، اما همچنان در یک فضای محدود قرار دارند.

این یک تناقض ظاهری است: چگونه یک مسیر می‌تواند بی‌نهایت طولانی باشد ولی در یک فضای محدود باقی بماند؟ پاسخ در فراکتال‌ها (Fractals) نهفته است که در ادامه، درموردشان توضیح می‌دهیم.

این جاذب خاص، جاذب لورنتس (Lorenz Attractor) نام دارد و احتمالاً معروف‌ترین نمونه از یک جاذب آشوبناک است. البته، چنین جاذب‌هایی فقط مختص این سیستم نیستند و برای معادلات مختلف، نمونه‌های دیگری نیز کشف شده‌اند.

بیشتر مردم اثر پروانه‌ای را به این شکل می‌شناسند؛ تغییرات کوچک می‌توانند آینده را غیرقابل‌پیش‌بینی کنند. اما علمِ پشت این پدیده، فقط درباره‌ی غیرقابل‌پیش‌بینی بودن آینده نیست؛ بلکه ساختاری عمیق و زیبا را در دل پویایی‌های یک سیستم، آشکار می‌کند.

بنابراین، اگرچه نمی‌توانیم مسیر یک وضعیت خاص را پیش‌بینی کنیم، می‌توانیم اطلاعاتی در مورد تکامل مجموعه‌ای از وضعیت‌ها در گذر زمان داشته باشیم. در مورد معادلات لورنتس، این مسیرها به‌طرز جالبی شکلی شبیه به پروانه ایجاد می‌کنند.

آیا می‌دانید وجه اشتراک دانه‌های برف و گوشی‌های هوشمند چیست؟ پاسخ، الگوهای بی‌پایانی به نام فراکتال‌ها است. فراکتال (Fractal) یک الگوی هندسی خودمتشابه و تکرارشونده است که در مقیاس‌های مختلف، ساختاری مشابه دارد. به بیان ساده‌تر، اگر بخشی از یک فراکتال را بزرگنمایی کنیم، همان الگو را در ابعاد کوچک‌تر مشاهده خواهیم کرد.

برای درک بهتر ساختار و ویژگی‌های فراکتال، بیایید با یکدیگر یک دانه‌ی برف را ترسیم کنیم. برای انجام این کار، از یک مثلث متساوی‌الاضلاع شروع می‌کنیم.

در ادامه، یک مثلث متساوی‌الاضلاع دیگر را وسط هر ضلع می‌کشیم.

سپس، بخش میانی را بیرون می‌کشیم و این فرآیند را تکرار می‌کنیم. در این مرحله، شکل ۱۲ ضلع دارد که وسط هر کدام، مثلثی متساوی‌الاضلاع، مشابه تصویر زیر رسم می‌کنیم.

با تکرار این فرآیند به دفعات زیاد، به تصویر زیر می‌رسیم:

این شکل، دانه‌ی برفدانه‌ی کوخ، نام و ویژگی منحصربه‌فردی دارد. به هر قسمت از آن نگاه یا هر چقدر قسمت‌های مختلف آن را بزرگ کنیم، همواره الگوی مشابهی می‌بینیم که تکرار می‌شود. الگوهایی که هیچ‌وقت تمام نمی‌شوند و در هر مقیاس و سطح بزرگنمایی به شکلی مشابه به‌هم می‌رسند، فراکتال نام دارند.

فراکتال‌ها و اثر پروانه‌ای هر دو بخشی از نظریه آشوب هستند و نشان می‌دهند که چگونه تغییرات کوچک می‌توانند الگوهای پیچیده و غیرقابل‌پیش‌بینی ایجاد کنند. درحالی‌که اثر پروانه‌ای می‌گوید که یک تغییر جزئی در شرایط اولیه می‌تواند مسیر یک سیستم پویا را کاملاً تغییر دهد، فراکتال‌ها نشان می‌دهند که این تغییرات کوچک می‌توانند در مقیاس‌های مختلف تکرار شوند و در نهایت به الگوهای پیچیده و بزرگ‌تری منجر شوند.

اثر پروانه‌ای، فراتر از یک مفهوم علمی، تصویری از جهان است که در آن کوچک‌ترین تغییرات می‌توانند زنجیره‌ای از رویدادها را شکل دهند و مسیر آینده را دگرگون کنند. از سیستم‌های آب‌وهوایی تا بازارهای مالی، از تعاملات اجتماعی تا تصمیمات شخصی، هر انتخاب، هر تغییر و حتی هر تاخیر چنددقیقه‌ای، می‌تواند پیامدهایی غیرمنتظره به همراه داشته باشد.

همان‌طور که پوانکاره و لورنتس نشان دادند، پیش‌بینی دقیق آینده در سیستم‌های پیچیده تقریباً غیرممکن است، اما این به معنای بی‌نظمی مطلق نیست. بلکه، نظریه‌ی آشوب و اثر پروانه‌ای به ما یادآوری می‌کند که جهان، باوجود آشوب‌مندی ظاهری‌اش، دارای الگوها و نظم‌هایی پنهان است که تنها با ابزارهای مناسب و نگاهی عمیق‌تر، می‌توان آن‌ها را کشف کرد.